В связи с этим хотелось бы заметить что в геометрии часто встречаются доказательства от противного. В интерпретации в нашу теорию это будет выглядеть как попытка получить цепочку построения элемента, появление которого приведет к противоречивому состоянию системы.

Перед тем как продолжить приведение геометрических определений, необходимо дать несколько пояснений и определений.

Применение базовых операторов к системе приведет к появлению специальных отношений, далее индукция этих отношений приведет к продуцированным операторам. Так применение оператора Sy к системе ведет к появлению отношения R[уникальности]{x}, так как синтез системы с собой приведет с отождествлению системы с собой и как результатом будет единичность системы:

Sy[](S) => S:<Rs[уникальность]{}>, In(S:<Rs[уникальность]{}>) => Uq(x).

Оператор уникальности примененный к любому элементу системы делает его уникальным в том виде в каком он был определен на момент применения, появления второго такого элемента вызовет противоречие в системе знаний. Понятие уникальности в этом случае значит, что не может быть другого такого же элемента, содержащего в своем определении точно такие же элементы, даже если все эти элементы были построены разными путями и имеют разные имена. В силу своего образования, оператор Uq является комплементарным. Так как операндом применения оператора была система, то оператор может быть применен к элементам и как комплементарное дополнение другого оператора:

Uq(El) – в данном случае уникальным становится весь элемент и элементы входящие в него.

Uq(Op(El, El)) – при комплиментарном применении уникальным будет только отношение полученное применением оператором Op.

Аналогичное применение оператора An ведет к появлению отношения множественности «одних», иначе говоря разложение системы на составляющие приведет к появлению отношения множественности, данное отношение будет включать все элементы системы как некий абстрактный элемент. Индуцирование отношения множественности приведет к появлению оператора всеобщности:

An[](S) => S:<Rs[множественность]{x}>, In(S:<Rs[множественность]{x}>) => Un(x).

Оператор всеобщности является только комплементарным.

Еще одним дополнением является понятие чисел. Числа в данном случае нужны как некоторая опора для измерения геометрических объектов. В сущности, не важно посредством чего (каких единиц) измеряются геометрические элементы. Важно только различать меры:

• линейную

• градусную

• квадратную (мера площади)

• кубическую (меру объема)

Все четыре меры есть по сути дела некоторые внешние определенности, а значит они могут выступать как ЧВ. Таким образом, введенные меры как ЧВ дадут возможность измерять (иначе говоря сопоставлять) отношению меры определенное число.

Опустим часть получения чисел, числа в данном случае будут «ЧВ», никак не связанными с системой. Тогда применение оператора синтеза по «ЧВ» меры, или иначе говоря измерение и сопоставление мере некоторого числа видоизменит элемент. Переопределит, добавляя в определяющее отношения меру и её числовое значение:

Пример отрезок АВ:

AB: <R[отрезка]{a,A,B}>

WEAK [( Sy[P(md)](AB, N) )] => AB:<R[отрезка]{a,A,B}, M(N)>

что читается как отрезок AB имеет длину N (см, мм, км, локтей).

Теперь переопределим угол, определим плоский угол:

◄O:<R[угла](O, a1, b1)> ,

WEAK [( Sy[P(md](◄O, N) )] => ◄O:<R[угла]{O, a1, b1}, M[угла]{N}>

Величина угла О составляет N градусов.

Плоский угол рассматривается как часть плоскости, поэтому переопределим угол, через ЧВ часть плоскости:

◄O:<R[угла](O, a1, b1), M[угла]{N}>

WEAK [( Sy[Sp](◄O, Ps) )] => <R[угла]{O, a1, b1}, M[угла]{N}, R[sp]{Ps}>

Стоит обратить внимание на то что все три отношения являются определяющими отношениями, то есть элемент угол О переопределялся три раза.

Аксиомы и Теоремы.

Теперь когда введено понятие точки, прямой, угла и отрезка можно сформулировать несколько аксиом и доказать пару простых теорем:

Аксиома 1:

Через две точки на плоскости можно провести прямую и только одну.

В системе аксиома бедет выглядеть следующим образом:

A: <Rs[Ptl]{a} | | >

B: <Rs[Ptl]{a} | | >

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{B}, Rs[Ptl]{А}>

Uq(a) => a: <Rs[sl], R[uq]{A, B} | Rs[Ptl]{B}, Rs[Ptl{А}>

В данном случае, если будет проведена вторая прямая линия через эти же две точки A и В, то этот факт приведет к противоречию в системе. Следует также отметить, что за очевидностью построения, вся цепочка построения здесь опущена.

Аксиома 2:

Из трёх точек на прямой одна и только одна будет лежать между двумя другими.

Построим определения трёх точек:

A: <Rs[Pt]{a} >

B: <Rs[Pt]{a} >

С: <Rs[Pt]{a} >

Пусть точка С лежит между точками A и B. Применим оператор уникальности к оператору Sy по

ЧВ: R1, P[R1](Pt1, Pt2)

WEAK [( Uq(Sy[R1](A, B)) )] =>

С: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{A,B,a}) >

A: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{C,B,a}) >

B: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{C,A,a}) >

Аксиома 3

От некоторой прямой а можно отложить угол в одну полуплоскость с определенной градусной мерой причем только один.

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b} |>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}>

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}>

Точка делит прямые a и b на два луча каждую. К рассмотрению возьмем только правые лучи:

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| |>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| | >

Левые лучи также существуют, но их рассмотрение не существенно для задачи.

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}...| >

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

Теперь построим элемент угла, можно для этого воспользоваться продуцированным оператором угла Op[Угла]

◄A:<R[угла]{А, a1, b1}>

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., R[угла]{a1, b1}>

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| R[угла]{A, b1}|>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| R[угла]{A, a1}|>

При определении градусной меры угла применим оператор Sy в комбинации с оператором уникальности:

WEAK [( Uq(Sy[ma](◄A, N)) )] => ◄A:<Uq(R[угла]{А, a1, b1}, Ma{N}) > .

Полная формулировка аксиомы будет выглядеть:

◄A:<Uq(R[угла]{А, a1, b1}, Ma{N}) > ,

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., R[угла]{a1, b1}>

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| R[угла]{A, b1}|>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| R[угла]{A, a1}|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

Здесь левые лучи показаны многоточьем. Конструкция кажется громоздкой, однако не следует забывать, что она дает ПОЛНОЕ определение аксиоме в системе.

Аксиома 4

На некоторой прямой можно отложить отрезок определенной длины и только один. Опуская подробности построения выпишем основные шаги:

Op[отрезка](a, A, B) => AB: <R[отрезка]{a,A,B}>

WEAK [( Uq(Sy[md](AB, l)) )] => AB: <Uq(R[отрезка]{a,A,B}, Md]{l})>

Аксиома 5

Через любые две точки на плоскости можно провести только прямую и только одну.

Sy[pt]S => A: <Rs[Pt]>

Sy[pt]S => B: <Rs[Pt]>

Sy[sl]S => a: <Rs[sl]>

WEAK [( Uq(Sy[ptl](a, A, B)) )]=>

a: <Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

A:<Rs[Pt] R[ptl]{a}>,

B:<Rs[Pt] R[ptl]{a}>

Если применить оператор индукции, то получается: Op[sl](a, A, B)

Теорема 1:

Если прямые пересекаются, то они пересекаются в одной точке. В терминах геометрии теорема доказывается простым протеворечием аксиоме 5: если прямые пересекаются в двух различных точках, значит через две точки проведены две прямые, что противоречит аксиоме 5, которая говорит что через любые две точки можно провести на плоскости только одну прямую.

В терминах системы вывод будет следующим:

Sy[pt]S => A: <Rs[Pt]>

Sy[pt]S => B: <Rs[Pt]>

Применяя оператор прямой проведенной через две точки, получаем

a:<Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

Еще раз применим оператор прямой, к тем же точкам и другой прямой, так как по условию поставленному в теореме обе прямые должны проходить через две точки.

b: <Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

Получили противоречие. Терема доказана.

Теорема 2:

Через точку на прямой можно провети ЕДИНСТВЕННУЮ прямую перпендикулярную данной .

Построим угол aOb, где прямая b будет перпендикулярна прямой а.

Докажем теорему от противного. Построим два угла с одинаковой мерой и покажем что это приведет к противоречию системы.

Выполним построения аналогичные построениям выполненным для аксиомы:

◄O:<R[угла]{O, a1, b1}, Uq(Ma{90}) > ,

O: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., | R[угла](a1, b1)>

a1:<R[Луч-правый]{O, a}| R[угла](O, b1)|>

b1:<R[Луч-правый]{O, b}| R[угла](O, a1)|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

Далее проведем через ту же точку O прямую с:

◄O1:<R[угла]{O, a1, c1}, Uq(Ma{90}) > ,

O: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}, R[Луч-правый]{c}..., | R[угла](a1, b1), R[угла](a1, c1) | >

a1:<R[Луч-правый]{O, a}| R[угла](O, c1)|>

с1:<R[Луч-правый]{O, c}| R[угла](O, a1)|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

с: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

Из построения видно, что в системе образовалась два угла с одной градусной мерой при наличии ограничения на уникальность, что привело систему в противоречивое состояние. Начальное предположение о возможности проведения второго перпендикуляра – неверно. Следует также отметить что в результате второго построения изменилось определение точки O, однако, это же измененное определение будет и в первой части построений. Что опять-таки показывает, что сравниваемые углы базируются на одном и том же луче а1 и точки О.

Теорема доказана.