cucer

И последнее...

2007-02-16T04:26:19Z

Развернутый угол, смежные углы. Сумма углов треугольника.

В заключение демонстрации данной теории приведем последний пример: определим развернутый угол, смежные углы и докажем теорему о сумме углов треугольника.

Итак развернутый угол – это угол стороны котрого совпадают с лучами прямой на которой он отложен, градусная мера такого угла равна 180:

a:<R[sl]| Rs[ptl]{O}>; O:<Rs[ptl]{a}>

a¹:<R[луч-левый]{a, O}>;

a²:<R[луч-правый]{a, O}>;

Op[угла](a¹,a² ,O) => ◄O: <R[угла](O, a¹,a²)>

Опустим часть определения величины угла, запишем сразу в готовом виде:

◄O: <R[угла](O, a¹,a²) | M[a]{180}>

Смежные углы этот такие углы у которых один луч общий. Если применить оператор Sy к смежным углам по общему лучу, то углы объединяются в один угол, градусная мера которого равна сумме градусных мер смежных углов:

Op[угла](a¹,b¹ ,O) => ◄BOA: <R[угла]{O, b¹,a¹}>;

WEAK [( Sy[ma](◄BOA, g1) )]=> ◄BOA: <R[угла]{O, b¹,a¹}, M[a](g1)>

Op[угла](a¹,c¹ ,O) => ◄AOC: <R[угла]{O, a¹,c¹}>

WEAK [( Sy[ma](◄AOC, g1) )]=> ◄AOC: <R[угла]{O, a¹,c¹}, M[a](g2)>

Введем два новых продуцированных оператора: оператор построения дополнительного смежного угла (оператор смежности) и оператор деления угла на смежные (оператор деления угла).

Итак, применим оператор An по общему лучу и общей точке к углу BOC:

An[cl](◄BOC, O,a¹) =>
◄BOA: <R[угла]{O, b¹,a¹}, R[cl]{◄AOC, a¹}, M[a]{k}>;

◄AOC: <R[угла]{O, a¹,c¹}, R[cl]{◄BOA, a¹}, M[a]{n}>;

◄BOC: <R[угла]{O, b¹,c¹}, M[a]{g}| R[cl]{◄BOA, a¹},R[cl]{◄AOC, a¹} >;

где k+n = g

Элемент «Общий луч» включает в себя общую точку и общую линию с другими лучами.

Еще раз отметим, что индуцирование элемента ◄BOC создаст новый оператор, результатом применения которого будет не только разделение угла – операнда по общей линии, но и появление двух новых, смежных углов. Что вполне логично – продуцированные отношения деленного угла не могут указывать на не существующие элементы. Итак:

In(◄BOA: <R[угла]{O, b¹,a¹}, R[cl]{◄AOC, a¹}, M[a]{k}>; => Op[деления-угла](◄, cl).

◄AOC: <R[угла]{O, a¹,c¹}, R[cl]{◄BOA, a¹}, M[a]{n}>;

◄BOC: <R[угла]{O, b¹,c¹}, M[a]{g}| R[cl]{◄BOA, a¹},R[cl]{◄AOC, a¹} >)

Новое определение угла будет выглядеть:

◄BOC: <R[угла]{O, b¹,c¹}|M[a]{k}| R[cl]{◄BOA, a¹},R[cl]{◄AOC, a¹} |Op[деления-угла](◄, cl) >

Далее подобно предыдущему оператору применим оператор Sy по общему лучу a¹к углам ]◄BOA и ◄COA

Sy[cl](◄BOA, ◄COA, a¹) =>

◄BOC: <R[угла]{O, b¹,c¹}, M[a]{g= k+n}>

◄BOA: < R[угла]{O, b¹,a¹}, M[a]{k} | R[cl]{◄AOC, a¹}, >;

◄AOC: < R[угла]{O, a¹,c¹}, M[a]{n}| R[cl]{◄BOA, a¹} >;

где k+n = g

Про индуцируем любой из результатов применения Sy[cl]: ◄BOA или ◄AOC:

In(◄AOC: < R[угла]{O, a¹,c¹}| R[cl]{◄BOA, a¹}| M[a]{n} >) => Op[объединения углов по – a¹];

Полное определение угла ◄AOC будет выглядеть:

◄AOC :<R[угла]{O, a¹,c¹}, M[a](n) | Op[объединения углов по – a¹]>

Описание (прототип, сигнатура) индуцированного оператора специально везде опускается – для простоты демонстрации.

Теорема 4:

Сумма углов треугольника равно 180 градусам.

Доказательство теоремы в терминах геометрии сводится к построению

дополнительной прямой от одной из вершин треугольника параллельно противоположной стороне.

Из построения видно что если прямые a и d параллельные, то прямые на которых отложены отрезки AB и BC являются секущими. Таким образом,

◄D1BA = ◄BAC и далее ◄DBC = ◄CAB, так как они накрест лежащие, согласно данному построению углы ◄D1BA, ◄DBC и ◄ABC вместе составляют развернутый угол, таким образом сумма углов треугольника равна 180 градусам или развернутому углу.

Теперь докажем теорему в терминах теории сущностей:

Построим определение треугольника и прямую d:

Op[▲](A, B, C) => ▲ABC: <R[▲]{a,b,c, A, B,C}|

R[отрезка]{a, A, C}, R[угла]{A, a¹, b¹},

R[отрезка]{b, A, B}, R[угла]{B, b¹, c¹},

R[отрезка]{c, B, C}, R[угла]{C, c¹, a¹}| Op[▲]>

Прямая d проходит через точку B и параллельна прямой а:

Sy[sl]S => d:<Rs[sl]>

WEAK [( Sy[ptl](B, d) )] =>

d:<Rs[sl] | R[ptl]{B}>;

B:<R[▲]{a, b, c, A, C}| R[ptl]{d}, R[отрезка]{AB, b}, R[отрезка]{BC, c},

R[угла]{ b¹, c¹} >

WEAK [( Sy[psl](a, d) )] =>

d: <Rs[sl] | R[ptl]{B}, R[psl]{a}>

a: <R[▲]{b, c, A, B, C}| R[отрезка]{A, B}, R[угла](A, b¹}, R[угла](A, с¹}, R[psl]{d}>

Тогда, по теореме доказанной выше имеем градусная мера углов равны:

◄D1BA = ◄BAC, ◄DBC = ◄ACB

Выпишем равные углы:

Согласно определениям геометрии равными углами в планиметрии называются углы градусная мера которых равна, то есть если ◄A = ◄B, определения углов должны соответствовать следующим формулам

◄A: <R[угла]{a¹,c¹}| M[a]{l}}>

◄B: <R[угла]{b¹,d¹}| M[a]{l}}>

Тогда определения вышеуказанных углов будет выглядеть как

◄D1BA = ◄BAC, ◄DBC = ◄ACB:

◄D1BA: < R[угла]{B, d²,b¹}| M[a]{n} >;

◄BAC: < R[угла]{b¹,a¹}| M[a]{n} >;

◄DBC: < R[угла]{d¹,c¹}| R[cl]{◄ABC, c¹}, M[a]{k} >;

◄ACB: < R[угла]{a¹,c¹}| M[a]{k} >;

Так как нас интересует только градусная мера углов, для построения доказательства будем далее использовать углы ◄D1BA, ◄DBC. Если мы сможем доказать что сумма углов ◄D1BA, ◄DBC и ◄ABC равна 180 градусам – значит теорема доказана.

Вывод.

Применяя композитивно оператор построения смежного угла «объединение углов по - ?»

последовательно к DBC, CBA получем объединенный угол D1BD.

WEAK [( Op[объединение углов по – c¹]

(◄DBC, (Op[объединение углов по - b¹](◄ABC, ◄D1BA, b¹ )), с¹ ) )]=>

◄D1BD: <R[угла]{O, d¹,d²}| M[a]{g= k+n+l}>

◄DBC: < R[угла]{d¹,c¹}| R[cl]{◄ABC, c¹}, M[a]{l} >;

◄ABC: < R[угла]{ b¹,c¹}| R[cl]{◄ABD1, b¹},R[cl]{◄DBC, c¹}, M[a]{k} >;

◄ABD1: < R[угла]{ b¹,d²}| R[cl]{◄ABC, b¹}, M[a]{n} >;

Как видно из вышеприведенной формулы новый угол (◄D1BD) образованный применением операторов – есть развернутый угол, то есть сумма углов составляющих его есть 180 градусов, но при построении этого развернутого угла использовались углы равные углам треугольника, то есть градусная мера всех углов треугольника также равна 180 градусам.

Дополнительные замечания

В выше приведенном примере многие моменты построения опущены, возможно, для чистоты демонстрации следовало бы выписывать все построения подробно и достаточно четко. Например, опущена часть работы с абстрактными элементами – выражения мер длин и углов. Не было демонстрации примеров применения оператора T (терминирования), а между тем данным оператором должны заканчиваться все теоремы и аксиомы. Опущены все детали применения оператора индукции и т.д. Это не значит, что данная работа не проводилась, скорее демонстрируемый пример был максимально упрощен, дабы показать основные моменты теории без излишних деталей и технических подробностей. Конечно, находясь, в начале развития своего развития теория покажется громоздкой не очень понятной и без достаточно серьёзной базы аксиоматизации.

Планиметрия как пример была взята потому что этот раздел математики не настолько абстрактен, как например, алгебра с одной стороны и не настолько конкретен как химия или физика. Абстрактные структуры данных сложнее представлять и ими сложнее манипулировать.

Так, например, классическая механика в физике может быть представлена существенно проще, чем школьный курс геометрии. В классической механики значительно меньше первичных чувственных восприятий и конец готовых сущностей.

Как уже было указано – математика, вернее её абстрактная числовая часть занимает особое место в теории – как подсистема элементов с пустым «чувственным восприятием». Данная подсистема безусловно также должна получить соответствующее развитие.

Что дальше?

Жизнеспособность каждой теории определяется её применимостью на практике.

В наш современный компьютерный критерием полезности подобной системы также является возможность её реализации в программном виде. То есть как некоторого компьютерного приложения. Реализация вышеизложенного примера из планиметрии – довольно бессмысленное занятие. Так как в лучшем случае – это будет весьма забавная игрушка, но не более того. Гораздо интереснее реализовать теорию в каком-нибудь из следующих видов:

Узко специфическое, но законченное приложение для целей хранения, развития и применения системы знаний в той или иной области деятельности человека.
Общая задача – создание систем, которые позволят общаться с компьютером на естественном языке
Старые, частично решенные задачи распознавания образов: визуально-статических, визуально-динамических, звуковых.

Итак для реальной модели будет выбрано одно из направлений и реализовано в виде компьютерного приложения.

Практически все...

2007-02-15T01:36:52Z

Треугольник, Признаки равенства треугольников

Для начала необходимо построить определение треугольника и оператор построения треугольника. Оператор построения треугольника будет полезен чтобы строить треугольник из набора сторон и углов.

Треугольником называется фигура состоящая из трёх сторон и трёх углов.

Определим три прямые. Так чтобы они пересекались каждая с каждой в трех различных точках.

Sy[sl]S => a: <Rs[sl] | |>; Sy[ptl](S, a) => A:<Rs[Ptl]{a}>

Sy[sl]S => b: <Rs[sl] | |>; Sy[ptl](S, b) => B:<Rs[Ptl]{b}>

Sy[sl]S => c: <Rs[sl] | |>; Sy[ptl](S, c) => C:<Rs[Ptl]{c}>

Используем рекурсивно-замкнутый способ:

WEAK [( Sy[cp]( A, a, (Sy[cp] B, b, Sy[cp](C, c, a))) )] =>

Читается как: применим оператор синтеза к прямой а по точке А к результату

применения оператора синтеза примененного к прямой b по точке B и к результату

применения оператора синтеза примененного к прямой c по точке С и к прямой а.

Производим слабое применение – получаем лямбда-элементы: пересечение прямых в точках

Итак результат:

( Λ-<Rs[sl](a), Rs[sl](b), R[ptl]{a, A}, R[ptl]{b, A}>;

Λ-<Rs[sl](b), Rs[sl](c), R[ptl]{b, B}, R[ptl]{c, B}>;

Λ-<Rs[sl](a), Rs[sl](c), R[ptl]{c, C}, R[ptl]{a, C}> )

Полученные отношения в Λ- элементах сводим в одно отношение: отношение треугольника:

R[треугольника] или R[▲] что есть

[Rs[sl]{a}, Rs[sl]{b}, Rs[sl]{c},

R[ptl]{a, A}, R[ptl]{b, A},

R[ptl]{b, B}, R[ptl]{c, B},

R[ptl]{c, C}, R[ptl]{a, C}]

Что читается, как треугольник есть три прямые линии пересекающееся попарно в трех различных точках.

▲ABC: <R[▲](a,b,c, A, B,C)>

До-определим стороны треугольника. Обратим внимание, что точки треугольника лежат на прямых линиях образующих треугольник, таким образом применяя рекурсивно оператор анализа к треугольнику и синтеза по обшей прямой попарно к двум точкам получаем три отрезка AB, BC, AC:

WEAK [( Sy[cp](A, An[a](▲ABC)) )] => Sy[ptl](a, A, С) => AC: <R[отрезка]{a, A, С}>

WEAK [( Sy[cp](B, An[b](▲ABC)) )] => Sy[ptl](b, A, B) => AB: <R[отрезка]{b, A, B}>

WEAK [( Sy[cp](C, An[c](▲ABC)) )] => Sy[ptl](c, B, C) => BC: <R[отрезка]{c, B, C}>

Что, естественно ведет к изменению определения треугольника:

▲ABC: <R[▲](a,b,c, A, B,C)|

R[отрезка]{a, A, C},

R[отрезка]{b, A, B},

R[отрезка]{c, B, C}>

Определим и выпишем углы треугольника. Таким же способом выделим три угла треугольника, тоже применяя рекурсивно комбинацию операторов Sy и An. При этом очевидно, что определения элементов треугольника (в частности прямых и точек ) тоже изменятся. За очевидностью и с целью экономии времени не будем их выписывать .

Последние определение треугольника будет иметь следующий вид:

▲ABC: <R[▲](a,b,c, A, B,C)|

R[отрезка]{a, A, C}, R[угла](A, a1, b1),

R[отрезка]{b, A, B}, R[угла](B, b1, c1),

R[отрезка]{c, B, C}, R[угла](C, c1, a1) | > (*)

Также появятся новые элементы – углы треугольника.

◄A:<R[угла](A, a1, b1) | |>,

◄B:<R[угла](B, b1, c1) | |>,

◄C:<R[угла](C, c1, a1) | |>

Таким образом, полное определение треугольника будет иметь вид формулы обозначенной звёздочкой.

Применим оператор индукции к данной формуле и получим оператор производящий треугольники и соответственно определяющий или переопределяющий элементы вхождения:

In(▲ABC) => In( <R[▲](a,b,c, A, B,C)|

R[отрезка]{a, A, C}, R[угла](A, a1, b1),

R[отрезка]{b, A, B}, R[угла](B, b1, c1),

R[отрезка]{c, B, C}, R[угла](C, c1, a1) | >) =>

Op[▲](a, b, c, A, B, C)

Данный оператор производит треугольник и все его сопровождающие элементы:

точки, прямые, стороны и углы.

Равенство треугольников, по определению из геометрии, есть равенство градусных мер и мер длин его углов и сторон. То есть если у ▲ABC стороны и углы попарно равны сторонам и углам ▲DEF, то такие треугольники равны.

Для сравнения треугольников добавим к элементам треугольника меры длин и углов, добавление будет производится на уровне изменения элементов треугольника: отрезком и углов, в этом случае само определение треугольника останется неизменным:

◄A:<R[угла](A, a1, b1), R[▲](ABC), Ma{N}| |>,

◄B:<R[угла](B, b1, c1), R[▲](ABC), Ma{M}| |>,

◄C:<R[угла](C, c1, a1), R[▲](ABC), Ma{L}| |>

AB: <R[отрезка]{a, A, B), Md{X} | | >

BC: <R[отрезка]{a, B, C), Md{T} | | >

AC: <R[отрезка]{a, A, C), Md{Z} | | >

Для сравнения элементов будем пользоваться оператором сравнения, ниже приведен пример использования данного оператора:

Cm[Ma](◄A, ◄B) => <RT{}, RD{N, M}>

Сравниваются углы A и B, градусные меры углов разлисны – то есть углы не равны.

Если бы обе градусные меры были бы равны, например N, то результат сравнения был бы иной:

Cm[Ma](◄A, ◄B) => <RT{N}, RD{}>

Таким образом можно переформулировать равенство треугольников в терминах системы:

Треугольники равны тогда и только тогда когда результаты по-парного сравнения его сторон и углов по их мерам порождают только отношения тождественности с одной мерой сторон или углов:

Cm[Ma](▲ABC, ▲DEF) => <RT[A-D]{x}, RT[B-E]{y}, RT[C-F]{z}>

Указанное соотнесение не совсем корректно, в корректном виде это должно быть три выражения для сравнения каждого угла треугольника. Точно такой же подход применим к сравнению сторон.

Теорема 3: Первый признак равенства треугольников.

Треугольники равны, если сторона и два прилежащих угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим углам другого треугольника.

Доказательство:

Равенство треугольников можно сформулировать в виде набор формул, к которым необходимо прийти, используя различные построения (элементы и формулы):

Треугольники ▲ABC, ▲DEF будут равны когда следующие сравнительные операции будут иметь определенный результат:

Cm[Ma](◄A, ◄D) => <RT{g¹}, RD{}>

Cm[Ma](◄C, ◄F ) => <RT{g³}, RD{}>

Cm[Ma](◄B, ◄E ) => <RT{g²}, RD{}>

Cm[Md](AB, DE) => <RT{l¹}, RD{}>

Cm[Md](BC, EF ) => <RT{l²}, RD{}>

Cm[Md](AC, FD )=> <RT{l³}, RD{}>

Дано: сторона (любая) и два прилежащих к ней угла равны.

Построим треугольник:

Op[▲](a, b, c, A, B, C) => ▲ABC: <R[▲](a,b,c, A, B,C)|

R[отрезка]{a, A, C}, R[угла](A, a¹, c¹),

R[отрезка]{b, A, B}, R[угла](B, b¹, a¹),

R[отрезка]{c, B, C}, R[угла](C, c¹, b¹) | Op[▲]>

Обратим внимание что в вышеприведенной записи рассматриваемые лучи записаны с надстрочным индексом, двухбуквенное обозначение будем использовать для прямых.

Для доказательства теоремы построим треугольник AB1C1. Треугольник AB1C1 ,будет иметь те же величины мер сторон и углов по определению. Если сможем доказать что все точки нового треугольников совпадают – то треугольники равны. При доказательстве будем использовать «ЧВ совпадение». Данное ЧВ является как таковым по определению. Выявление совпадения геометрических фигур и элементов это вопрос внешней (внешней для геометрии) данности, который может быть решен не-геометрическими методами. Сразу отметим, что «ЧВ совпадение» послужит в данном случае для разрешения противоречия.

Замечание 2:

По ходу рассуждений и доказательств зачастую кажется, что лучшей формулировкой, а также лучшим базисом будет доказательство истинности или ложности того или иного утверждения. В нашей системе истинность и ложность будет заменена на состояние системы (нормальное или противоречивое) и наличие или отсутствие какого-либо элемента или части его определения. Ведь по сути дела, что есть «истинна» или «ложь» в данном случае: Мы предполагаем, что можем построить треугольник с теми же величинами мер сторон и углов точки которого не совпадают с точками начального треугольника. То есть проверяется в данном случае истинность или ложность возможности такого построения. В данном случае речь идет не о модальности утверждения, а о полученном результате. В формальной логике любое целеполагание сводится к выяснению – «истинно» оно или «ложно». На самом деле, если говорить о знаниях СС – это целеполагание сводится к существованию или отсутствию некоторого элемента знаний – причем вполне определенному.

От точки A отложим отрезок AB1 вдоль прямой AB с мерой длины такой же как и сторона AB и так что бы точка B лежала между точкой B1 и A, пусть мера сторона AB = k, тогда определение стороны будет иметь вид:

AB:<Uq(R[отрезка]{b, A, B}, M[md]{k})>

Op[отрезка](a, A, B1)S => AB1:<R[отрезка]{b, A, B1}>

WEAK [( Sy[md](AB1, k) )] => AB1:<Uq(R[отрезка]{b, A, B1}, M[md]{k})>

Опустим часть определяющую точки A, B, B1. Данное определение необходимо только для того чтобы показать что отрезок AB1 был отложен в сторону точки B. Данное построение возможно согласно аксиоме 2 и будет произведено оператором Sy. Далее к точкам A, B1 и прямой a применяется оператор отрезка.

Здесь важно учесть что построение определение в системе не адекватно геометрическим построениям. Этапы построения в системе – есть этапы определения геометрического элемента по отношению к другим элементам, а по сему порядок не важен – важен результат.

На лицо – противоречие в системе знаний: на одной прямой отложено два отрезка с одной и той же длинной. Противоречие в системе решается применением оператора замены к обеим отрезкам:

Rp(AB1, Uq[Md], R3(B1, B)) => AB1:<R[отрезка]{b, A, B1}, M[md]{k}>.

Оператор замены снимает отношение уникальности с обеих отрезков и изменяет определение точек B1 и B. Обе точки получают дополнительное отношение – отношение

совпадения.. Таким образом, определение точек B, B1 будет выглядеть следующим образом:

B:<Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B,A,a}, R3(B1)>

B1:<Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B,A,a}, R3(B1)>

A: <Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B,A,a})>

Замечание 3:

Как уже указывалось оператор замены – оператор формальный, позволяющий изменять систему знаний СС путем прямого привнесения отношений. Адекватность применения оператора определяется точно также как и для других операторов – должна существовать основа в виде ЧВ. Насколько адекватным будет это ЧВ – это вопрос вне системы. Оператор замены применяется именно для разрешения противоречий – в этом его назначение.

Итак с точки зрения системы получено, что точки B1 и B совпадают. Это также означает что отрезки, точки которого совпадают имеют равную меру длины.

Теперь докажем что точка С1 треугольника AB1C1 совпадает с точкой С треугольника ABC, что будет означать равенство сторон BC = B1C1 и AC = AC1.

От стороны треугольника AB отложим прямую в ту же полуплоскость (по тому же лучу c1) что и сторона AC.

Теперь из точки А построим угол B1AC1, применим оператор угла Op[угла] и применим оператор Sy для задания меры угла, пусть меры углов будут одинаковыми и g:

Op[угла](A, a, c1) => ◄B1AC1:<Uq(R[угла]{А, a, c1}, Ma{g}) > ,

Угол ◄BAC имеет следующее определение:

◄BAC:<Uq(R[угла]{А, a, c}, Ma{g}) > .

Отметим, построение было выполнено согласно аксиоме 3. Опять получаем противоречие в системе. Два угла отложенные от одной прямой (луча) имеют одну и ту же градусную меру. Данное противоречие разрешается точно также как и предыдущее. Применяем оператор замены и заменяем отношение уникальности на отношение совпадения.

Таким образом получим следующую геометрическую картинку и определение в системе.

Op[▲](a, b, c, A, B, C) => ▲ABC: <R[▲](a,b,c, A, B,C)|

R[отрезка]{a, A, C}, R[угла](A, a¹, c¹),

R[отрезка]{b, A, B}, R[угла](B, a¹, b¹),

R[отрезка]{c, B, C}, R[угла](C, c¹, b¹) | Op[▲]>

AB1:<R[отрезка]{b, A, B1}, M[md]{k}>.

AB:<R[отрезка]{b, A, B}, M[md]{k}>.

B:<Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B1,A,a}, R3(B1)>

B1:<Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B,A,a}, R3(B1)>

A: <Rs[ptl]{a}| R[R1, B1]{B,B1,a})>

◄BAC:<R[угла]{А, a, c¹}, Ma{g} > .

◄B1AC1:<R[угла]{А, a, c1¹}, Ma{g} > ,

a¹:<R[Луч-правый]{A, a}| |>

c¹:<R[Луч-правый]{A, c}| R3{c1} | >

c1¹:<R[Луч-правый]{A, c1}| R3(c)| >

(c и с1 - прямые)

Однако полученный результат не означает, что совпадают точки С и С1. Значит следующим шагом нам следует доказать, что данные точки тоже совпадут.

Из точки B отложим прямую(луч) в сторону точки С.

Построим как и в прошлый раз угол из точки B1 с той же градусной мерой что и угол

◄ABC. Полученной противоречие разрешим тем же способом.

◄ABC:<R[угла]{B, a, b¹}, Ma{g} > .

◄AB1C1:<R[угла]{B1, a, b1¹}, Ma{g} > ,

a¹:<R[Луч-левый]{B, a}| |>

b¹:<R[Луч-левый]{B, b}| R3{b1} | >

b1¹:<R[Луч-левый]{B, b1}| R3(b)| >

Докажем что точка С1 совпала с точкой С. Таким образом получилось, что у нас была одна общая точка A, далее доказано что точка В совпала с точкой В1, отрезок АВ с отрезком АВ1, углы ◄ABC и ◄BAC с углами ◄AB1C1 и ◄B1AC1. Тогда по теореме 1, прямые b и c и следовательно прямые b1 и c1 могут пересекаться только в одной точке, значит они пересекаются в точке С (С1) и точка С совпадает с точкой С1. Здесь можно получить противоречие и снова воспользоваться оператором замены, чтобы заменить уникальность существования на отношение совпадения точек C и C1. Конечный результат будет выглядеть следующим образом:

с1:<Rs[sl] | R[ptl]{C1}, >, с:<Rs[sl] | R[ptl]{C}>

b1:<Rs[sl] | R[ptl]{C1}>, с:<Rs[sl] | R[ptl]{C}>

А так как с и с1, b и b1 совпадают, то b1(b) и c1(c) могут пересекаться только в одной точке, или же точки C и С1 должны совпадать.

C1: <....R3(C)....>

C: <....R3(C1)....>

Таким образом доказано – треугольники у которых величины сторон и углов равны – совпадают, значит в терминах геометрии равны.

Теорема доказана.

Параллельные прямые, Признаки параллельности прямых.

Параллельность прямых есть «чувственное восприятие», которое не следует путать с признаками параллельности, которые есть по сути дела – знания, или часть системы. Изначально две прямые могут быть проведены параллельно, или быть восприняты как параллельные.

Аксиома 3:

Через точку вне прямой можно провести прямую параллельную данной и только одну.

a: <Rs[sl]>

A: <Rs[pt]>

b: <Rs[sl]} R[ptl]{A}>

WEAK [( Uq(Sy[psl](a, b, A)) )] => a:<Rs[sl], R[psl]{b, A}>

b:<Uq(Rs[sl], R[psl]{a, A})>

A:<(Rs[pt], R[ptl]{A}>

Теорема 3:

У параллельных прямых накрест лежащие углы образованные секущей равны. Признак параллельности прямых можно сформулировать как - если накрест лежащие углы образованные секущей равны, то прямые параллельны.

Доказательство:

Докажем теорему от обратного. Пусть углы образованные секущей равны, но прямые не параллельны и пересекаются в некоторой точке A. Тогда мы получаем треугольник AO1O.

При этом остается, что угол ◄AO1O = ◄B1OO1 и ◄BO1O = ◄AOO1.

Тогда, согласно аксиомам геометрии можно построить два треугольника

▲AO1O и ▲BOO1. Треугольники будут равны по первому признаку, так как сторона OO1 общая, углы равны по определению. Но тогда получается, что прямые a и b пересекаются в двух точках, что противоречит теореме 1. Предположение, что накрест лежащие углы образованные секущей равны а прямые не параллельны – не верно.

Теперь запишем это же доказательство в терминах системы знаний.

Дано:

◄AO1O = ◄B1OO1 => ◄AO1O:<R[угла]{O1, b¹, c¹}, Ma{g}>;

◄B1OO1:<R[угла]{O, a¹, c²}, Ma{g}>.

◄BO1O = ◄AOO1 => ◄BO1O:<R[угла]{O1, b², c¹}, Ma{h}>;

◄AOO1:<R[угла]{O, a², c¹}, Ma{h}>.

Применям операторы треугольника чтобы построить два равных треугольника: ▲AO1O и ▲BOO1:

Op[▲](A, O1, O) => ▲AO1O: <R[▲](a,b,c, A, O1,O)|

R[отрезка]{a, A, O1}, R[угла]{A, a¹, b^1},

R[отрезка]{b, A, O}, R[угла]{O, a¹, c^1},

R[отрезка]{c, O, O1}, R[угла]{O1, b¹, c^1} | Op[▲]>

Op[▲](B, O, O1) => ▲BOO1: <R[▲]{a,b,c, A, O1,O}|

R[отрезка]{a, A, O1}, R[угла]{B, a², b^2},

R[отрезка]{b, A, O}, R[угла]{O, a², c^1},

R[отрезка]{c, O, O1}, R[угла]{O1, b², c^1} | Op[▲]>

Из определения треугольников следует определение прямых a и b:

a: <Rs[sl] | ... R[ptl]{A}, R[ptl]{B} ....>

b: <Rs[sl] | ... R[ptl]{A}, R[ptl]{B} ....>,

При определении прямых опущено много других отношений: отношения лучей и принадлежности точек. Однако, важным здесь является принадлежность точек A и B обеим прямым, из чего делаем вывод, что точки принадлежат обеим прямым сразу, что дает противоречие в системе согласно теореме 1. Таким образом остается утверждать что прямые параллельны.

Продолжение следует...

2007-02-14T01:52:23Z

Дополнительные понятия

Следует ещё отметить что построение элементов может идти по пути применения базовых операторов и продуцированных операторов, но в любом случае это задача решается не от обратного, то есть нельзя выполнять какие-то построения или манипуляции элементами (переопределение элементов), что бы в результате получить тот или иной элемент. Нет, построения всегда должны быть «осмысленными» и идти от цели, например, задачу построения какой-либо фигуры можно свети к нахождению цепочки применений операторов к элементам, но никак не иначе, то есть формулировка: «поставим точку C на прямой – это даст нам два отрезка BC и АС» без наглядной демонстрации не даст нам результата и правильного представления, так как в вербальном описании нет упоминания о точках А и B, их отношения с прямой а.

В связи с этим хотелось бы заметить что в геометрии часто встречаются доказательства от противного. В интерпретации в нашу теорию это будет выглядеть как попытка получить цепочку построения элемента, появление которого приведет к противоречивому состоянию системы.

Перед тем как продолжить приведение геометрических определений, необходимо дать несколько пояснений и определений.

Применение базовых операторов к системе приведет к появлению специальных отношений, далее индукция этих отношений приведет к продуцированным операторам. Так применение оператора Sy к системе ведет к появлению отношения R[уникальности]{x}, так как синтез системы с собой приведет с отождествлению системы с собой и как результатом будет единичность системы:

Sy[](S) => S:<Rs[уникальность]{}>, In(S:<Rs[уникальность]{}>) => Uq(x).

Оператор уникальности примененный к любому элементу системы делает его уникальным в том виде в каком он был определен на момент применения, появления второго такого элемента вызовет противоречие в системе знаний. Понятие уникальности в этом случае значит, что не может быть другого такого же элемента, содержащего в своем определении точно такие же элементы, даже если все эти элементы были построены разными путями и имеют разные имена. В силу своего образования, оператор Uq является комплементарным. Так как операндом применения оператора была система, то оператор может быть применен к элементам и как комплементарное дополнение другого оператора:

Uq(El) – в данном случае уникальным становится весь элемент и элементы входящие в него.

Uq(Op(El, El)) – при комплиментарном применении уникальным будет только отношение полученное применением оператором Op.

Аналогичное применение оператора An ведет к появлению отношения множественности «одних», иначе говоря разложение системы на составляющие приведет к появлению отношения множественности, данное отношение будет включать все элементы системы как некий абстрактный элемент. Индуцирование отношения множественности приведет к появлению оператора всеобщности:

An[](S) => S:<Rs[множественность]{x}>, In(S:<Rs[множественность]{x}>) => Un(x).

Оператор всеобщности является только комплементарным.

Еще одним дополнением является понятие чисел. Числа в данном случае нужны как некоторая опора для измерения геометрических объектов. В сущности, не важно посредством чего (каких единиц) измеряются геометрические элементы. Важно только различать меры:

линейную
градусную
квадратную (мера площади)
кубическую (меру объема)

Все четыре меры есть по сути дела некоторые внешние определенности, а значит они могут выступать как ЧВ. Таким образом, введенные меры как ЧВ дадут возможность измерять (иначе говоря сопоставлять) отношению меры определенное число.

Опустим часть получения чисел, числа в данном случае будут «ЧВ», никак не связанными с системой. Тогда применение оператора синтеза по «ЧВ» меры, или иначе говоря измерение и сопоставление мере некоторого числа видоизменит элемент. Переопределит, добавляя в определяющее отношения меру и её числовое значение:

Пример отрезок АВ:

AB: <R[отрезка]{a,A,B}>

WEAK [( Sy[P(md)](AB, N) )] => AB:<R[отрезка]{a,A,B}, M(N)>

что читается как отрезок AB имеет длину N (см, мм, км, локтей).

Теперь переопределим угол, определим плоский угол:

◄O:<R[угла](O, a1, b1)> ,

WEAK [( Sy[P(md](◄O, N) )] => ◄O:<R[угла]{O, a1, b1}, M[угла]{N}>

Величина угла О составляет N градусов.

Плоский угол рассматривается как часть плоскости, поэтому переопределим угол, через ЧВ часть плоскости:

◄O:<R[угла](O, a1, b1), M[угла]{N}>

WEAK [( Sy[Sp](◄O, Ps) )] => <R[угла]{O, a1, b1}, M[угла]{N}, R[sp]{Ps}>

Стоит обратить внимание на то что все три отношения являются определяющими отношениями, то есть элемент угол О переопределялся три раза.

Аксиомы и Теоремы.

Теперь когда введено понятие точки, прямой, угла и отрезка можно сформулировать несколько аксиом и доказать пару простых теорем:

Аксиома 1:

Через две точки на плоскости можно провести прямую и только одну.

В системе аксиома бедет выглядеть следующим образом:

A: <Rs[Ptl]{a} | | >

B: <Rs[Ptl]{a} | | >

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{B}, Rs[Ptl]{А}>

Uq(a) => a: <Rs[sl], R[uq]{A, B} | Rs[Ptl]{B}, Rs[Ptl{А}>

В данном случае, если будет проведена вторая прямая линия через эти же две точки A и В, то этот факт приведет к противоречию в системе. Следует также отметить, что за очевидностью построения, вся цепочка построения здесь опущена.

Аксиома 2:

Из трёх точек на прямой одна и только одна будет лежать между двумя другими.

Построим определения трёх точек:

A: <Rs[Pt]{a} >

B: <Rs[Pt]{a} >

С: <Rs[Pt]{a} >

Пусть точка С лежит между точками A и B. Применим оператор уникальности к оператору Sy по

ЧВ: R1, P[R1](Pt1, Pt2)

WEAK [( Uq(Sy[R1](A, B)) )] =>

С: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{A,B,a}) >

A: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{C,B,a}) >

B: <Rs[Pt]{a}, Uq(R[R1, C]{C,A,a}) >

Аксиома 3

От некоторой прямой а можно отложить угол в одну полуплоскость с определенной градусной мерой причем только один.

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b} |>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}>

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}>

Точка делит прямые a и b на два луча каждую. К рассмотрению возьмем только правые лучи:

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| |>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| | >

Левые лучи также существуют, но их рассмотрение не существенно для задачи.

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}...| >

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

Теперь построим элемент угла, можно для этого воспользоваться продуцированным оператором угла Op[Угла]

◄A:<R[угла]{А, a1, b1}>

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., R[угла]{a1, b1}>

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| R[угла]{A, b1}|>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| R[угла]{A, a1}|>

При определении градусной меры угла применим оператор Sy в комбинации с оператором уникальности:

WEAK [( Uq(Sy[ma](◄A, N)) )] => ◄A:<Uq(R[угла]{А, a1, b1}, Ma{N}) > .

Полная формулировка аксиомы будет выглядеть:

◄A:<Uq(R[угла]{А, a1, b1}, Ma{N}) > ,

A: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., R[угла]{a1, b1}>

a1:<R[Луч-правый]{A, a}| R[угла]{A, b1}|>

b1:<R[Луч-правый]{A, b}| R[угла]{A, a1}|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{A}, R[Луч-правый]{A}...| >

Здесь левые лучи показаны многоточьем. Конструкция кажется громоздкой, однако не следует забывать, что она дает ПОЛНОЕ определение аксиоме в системе.

Аксиома 4

На некоторой прямой можно отложить отрезок определенной длины и только один. Опуская подробности построения выпишем основные шаги:

Op[отрезка](a, A, B) => AB: <R[отрезка]{a,A,B}>

WEAK [( Uq(Sy[md](AB, l)) )] => AB: <Uq(R[отрезка]{a,A,B}, Md]{l})>

Аксиома 5

Через любые две точки на плоскости можно провести только прямую и только одну.

Sy[pt]S => A: <Rs[Pt]>

Sy[pt]S => B: <Rs[Pt]>

Sy[sl]S => a: <Rs[sl]>

WEAK [( Uq(Sy[ptl](a, A, B)) )]=>

a: <Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

A:<Rs[Pt] R[ptl]{a}>,

B:<Rs[Pt] R[ptl]{a}>

Если применить оператор индукции, то получается: Op[sl](a, A, B)

Теорема 1:

Если прямые пересекаются, то они пересекаются в одной точке. В терминах геометрии теорема доказывается простым протеворечием аксиоме 5: если прямые пересекаются в двух различных точках, значит через две точки проведены две прямые, что противоречит аксиоме 5, которая говорит что через любые две точки можно провести на плоскости только одну прямую.

В терминах системы вывод будет следующим:

Sy[pt]S => A: <Rs[Pt]>

Sy[pt]S => B: <Rs[Pt]>

Применяя оператор прямой проведенной через две точки, получаем

a:<Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

Еще раз применим оператор прямой, к тем же точкам и другой прямой, так как по условию поставленному в теореме обе прямые должны проходить через две точки.

b: <Uq(Rs[sl]| R[ptl]{A}, R[ptl]{B})>

Получили противоречие. Терема доказана.

Теорема 2:

Через точку на прямой можно провети ЕДИНСТВЕННУЮ прямую перпендикулярную данной .

Построим угол aOb, где прямая b будет перпендикулярна прямой а.

Докажем теорему от противного. Построим два угла с одинаковой мерой и покажем что это приведет к противоречию системы.

Выполним построения аналогичные построениям выполненным для аксиомы:

◄O:<R[угла]{O, a1, b1}, Uq(Ma{90}) > ,

O: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}..., | R[угла](a1, b1)>

a1:<R[Луч-правый]{O, a}| R[угла](O, b1)|>

b1:<R[Луч-правый]{O, b}| R[угла](O, a1)|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

b: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

Далее проведем через ту же точку O прямую с:

◄O1:<R[угла]{O, a1, c1}, Uq(Ma{90}) > ,

O: <Rs[Pt] | R[Ptl]{a}, R[Ptl]{b}, R[Луч-правый]{a}, R[Луч-правый]{b}, R[Луч-правый]{c}..., | R[угла](a1, b1), R[угла](a1, c1) | >

a1:<R[Луч-правый]{O, a}| R[угла](O, c1)|>

с1:<R[Луч-правый]{O, c}| R[угла](O, a1)|>

a: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

с: <Rs[sl] | Rs[Ptl]{O}, R[Луч-правый]{O}...| >

Из построения видно, что в системе образовалась два угла с одной градусной мерой при наличии ограничения на уникальность, что привело систему в противоречивое состояние. Начальное предположение о возможности проведения второго перпендикуляра – неверно. Следует также отметить что в результате второго построения изменилось определение точки O, однако, это же измененное определение будет и в первой части построений. Что опять-таки показывает, что сравниваемые углы базируются на одном и том же луче а1 и точки О.

Теорема доказана.

cucer @ 2007-02-12T22:14:00

2007-02-13T03:20:41Z

Продолжение следует...

Все вышеуказанные элементы являются именно “чувственными восприятиями”, так как они могут быть определены различными, но абстрактными способами. Ещё один аргумент в пользу абстрактности данный понятий это то что они могут быть представлены посредством вполне конкретного математического аппарата, например посредством систем координат. Можно сказать, что все может быть представлено таким же образом, да верно, но наша задача взять только самые примитивные элементы и далее такие элементы как “Ограниченная часть плоскости” и “Часть линии” опять-таки отчасти строятся на ограниченности восприятия СС окружающего мира. Можно, конечно далее высказать предположения как СС воспринимает вышеуказанные элементы, но мы тут же обнаружим, что их описание уйдет за границы геометрии и проявится где-нибудь в физике или в чем-либо ином. Например, если СС попросить дать определения линии, то это скорее всего будет что-нибудь вроде следующего:

След от карандаша
След движения математической точки (на плоскости или в пространстве)
Совокупность математических точек образующих видимую линию.

и .т.д

Все эти определения будут верны и имеют право на существования и при желании можно начать с 3 элементов: “точка, пространство и движение” и придти к тому же списку что указан выше. Однако, здесь вопрос ставится не о степени абстрагирования, а о представления более меннее серьёзной системы знаний. К тому же любой, кому захочется это проделать может попытаться сделать это построение.

Точка, луч, угол, отрезок

Как известно, мыслительной деятельности СС известны множество способов оперирования фактами из реального мира. Два из них уже упомянуты как операторы системы: разложение и интегрирование. На простом уровне это способы создания новых элементов знаний. Например, разложение некоторого визуального образа может происходить по цветовому восприятию, точно так как разложение звукового сигнала может происходить по уровню громкости. Операция интегрирования есть обратная операции разложения. Простым примером служит накопление како-либо информации и выстраиванием из неё нового элемента знаний. Простой пример: СС выбирает информацию из различных источников связанную с одним субъектом, пусть субъект есть некоторое природное явление, после некоторых усилий СС сможет определять по признакам наличие или приближение или последствия данного природного явления.

Теперь используя операторы системы (An, Sy ) построим первые простые определения.

Итак, принадлежность точки линии есть чувственное восприятие, точка тоже есть чувственное восприятие. СС может описать его или даже воспроизвести, но четкого определения может и не быть.

T:<Rs [Pt] | | > - Точка.

Применим оператор индукции In к элементу точка:

In (T) => Op[T]().

Таким образом новый оператор может быть использован для построения других точек. Особо отметим - «абстрактных точек», так как кроме того что это будет точка сказать об этом элементе будет нечего.

ПЛ:<Rs[Sl] | | > - Прямая линия, опять-таки абстрактная.

Луч1:<R[Луч]{T, ПЛ} | |>

Аn[Ptl](T, ПЛ) => Луч2:<R[Луч]{T, ПЛ} | |>

Или в виде вербального определения: точка принадлежащая прямой делит её на два луча, для некоторой определенности лучи можно поименовать, только поименовать, правый и левый:

ЛучПр, ЛучЛв. Таким образом применение оператора привело к образованию двух элементов и дного определяющего отношения – отношение между прямой и точкой – назовем его «отношением луча». Применим оператор индукции и получим оператор луча. Как результат оператор луча буде давать два луча, рассматривать оба луча или какой-либо один - это зависит от задачи применения. Также стоит отметить что определение точки и прямой также изменилось, у них появились продуцированные отношения:

T: <Rs[Pt] | R[Луч]{ПЛ}>

ПЛ:<Rs[Sl] | R[Луч]{T}>,

заметим, что второй член отношения в R[Луч] в продуцированных отношениях опущен, за его очевидностью . Такая точка уже не будет являться абстрактной, это уже будет «точка начала луча» или «точка луча».Точно также прямая будет являться прямой разделенной на два луча точкой Т.

Теперь когда есть точка, прямая и луч, попытаемся определить угол.

Угол, как известно из геометрии – это фигура состоящая из точки О – вершины угла и лучей с началами в этой точке, теперь, применяя, оператор Sy (так как ключевое слово было – «состоящая») построим определение угла в системе, пусть точка общая точка лучей, что есть чувственное восприятие будет основой применения оператора:

Sy[cp](Луч-1, Луч-2 ) => У:<R[угла]{T, Луч-1б Луч-2}>

Оператор синтеза взят по элементу точка - Т. Отметим, что в конечном результате появилось отношение угла в котором присутствует точка. Точка в отношении угла появилась из определения Луча. Теперь выпишем полное построение определения:

Луч-1:<R[Луч]{T, ПЛ-1}>

Луч-2:<R[Луч]{T, ПЛ-2}>

Так как лучи разные, то справедливо будет предположить, что прямые разные. Одной и той же буде только точка Т, таким образом отношение угла будет включать в себя три элемента:

точку и два луча.

В данном случае отношение результат включило в себя все элементы применения.

Замечание 1:

Как уже было сказано выше любой элемент в системе может быть выделен как уникальный, не зависимо от действий выполняемых над элементом. Это аксиома теории.

Исходя из замечания 1, вербальной формулировки угла и описанного порядка применения получаем окончательный результат:

У:<R[угла]{T, Луч-1, Луч-2}>

Луч-1:<R[Луч]{T, ПЛ-1}| R[угла](T, Луч-2} |>

Луч-2:<R[Луч]{T, ПЛ-2} | R[угла](T, Луч-1} | >

Т: <Rs[Pt] | R[Луч]{ПЛ-1}, R[Луч]{ПЛ-2}, R[угла](Луч-1, Луч-2}>

Как видно больше всего отношений у точки T, что верно:

Точка Т является началом лучей Луч-1, Луч-2, и является вершиной угла У.

В дальнейшем, для удобства и в соответствии с традициями будем именовать точки, прямые, углы как и принято в геометрии.

Переименуем:

T -> O, Луч-1 -> a1, Луч-2 -> b1, ПЛ-1 -> a, ПЛ-2 -> b, угол У -> ◄O

◄O:<R[угла]{O, a1, b1}>

a1:<R[Луч]{O, a}| R[угла](O, b1} |>

b1:<R[Луч]{O, b} | R[угла](O, a1} | >

Т:<Rs[Pt] | R[Луч]{a}, R[Луч]{b}, R[угла](a1, b1}>

In(◄O) => Op[угла](O, a1, b1)

Далее определим отрезок.

Построим определение точки лежащей на прямой:

Sy[Ptl](T, ПЛ) => T:<Rs[Ptl]{ПЛ}>; ПЛ:<Rs[Ptl]{T}>

В данном случае, если точки (конкретной точки) не существовало в системе, то её определяющим отношением будет отношение построенное на основе чувственного восприятия (далее - ЧВ). Если точка существовала, то отношение принадлежности прямой станет продуцированным отношением. Отсюда видно простое правило, или одна из аксиом – Изначально элементы не определены в системе, применение любого оператора к неопределенному элементу ведет к его появлению в системе с определяющим отношением основанным на субстрате оператора, как в данном случае с точкой Т и прямой ПЛ. Их определяющими отношениями будет ЧВ: Ptl. Применяя оператор индукции In получим:

Op[T, ptl](ПЛ) и Op[ПЛ, ptl](T)

Один из операторов строит точку лежащую на прямой: Op[T, ptl](ПЛ)

Второй строит прямую проходящую через точку Op[ПЛ, ptl](T)

Таким образом пусть в системе есть точки A и B лежащие на прямой а:

A: <Rs[Ptl]{a}| | >

B: <Rs[Ptl]{а}| | >

Применим оператор Sy по ЧВ принадлежности точки прямой, полученный элемент будет отрезком:

Sy[ptl](A,B) => AB: <R[отрезка]{a,A,B}>

Прямая и точки соответственно получат продуцированные отношения «отрезка»:

A: <Rs[Ptl]{a}| R[отрезка]{a,B}| >

B: <Rs[Ptl]{a}| R[отрезка]{a,A}| >

a: <Rs[Ptl]{A}| Rs[Ptl]{B}, R[отрезка]{a,A}|>

Применяя оператор индукции к выше указанной формуле получим продуцированный оператор отрезка:

In(AB) => In(<R[отрезка]{a,A,B}>) => Op[отрезка]

Отношение R[отрезка] создано согласно правилам (аксиомам) применения оператора Sy. Аксиомы синтаксически определяют будущее отношение, таким образом построение элемента выполнено формально. При этом полученная конструкция получается корректной и означает ровно то как определяется в геометрии, а именно отрезок это часть прямой ограниченная двумя точками. Предположим мы добавили ещё одну точку C на прямую, изменится ли её определение – да изменится, появится ещё одно отношение. Изменится ли определение отрезка – нет.

Если же поставить точку C между точками A и B, то определение отрезка изменится, если в первом случае точка C не давала никакого дополнительного отношения отрезку AB, то во втором случае определение отрезка получит новое отношение основанное на ЧВ: «Точка лежит между двумя другими точками на линии»:

Продолжим теорию сущностей.

2007-02-11T23:07:39Z

Итак теория сущностей, издание второе, дополненное, с примером.

Основы.

Итак, мы имеем в качестве начальных данных системы знаний наши чувственные восприятия, и в качестве основы системы знаний способность мыслить (если оная представлена). Читая аксиомы ZFC, я всегда приходил к одному и тому же мнению –основанные на рассудочном мышлении они вполне имееют право на существование, так как все они применяемые к жизни дают совершенно определенную картину. Что же давайте и мы представим что-нибудь похожее: всеобщий, просто сформулированный закон (законы) на основе, которого можно будет делать дальнейшие построения. Давайте просто попытаемся… Ну а кому не интересно, тот может остановиться на этом абзаце и закончить чтение.

Введите содержимое врезки

Наша же попытка сведется к простым предположениям:

1.Нам нужен простой механизм, который позволит нам адекватно представить систему знаний СС.

2.Чувственное восприятие (ЧВ) будет вносить внешние исходные данные в систему знания.

3.Внешне определенные данные (ВОД) станут неотъемлемой частью системы знаний, Эти данные будут с одной стороны интерпретацией внешнего мира в систему знаний и с другой стороны «опытом» СС, на основе которого он (СС) сможет достраивать свою систему знаний.

4.Система знаний должна быть активной – это не набор некоторых данных, это нечто, что способно развиваться.

5.Система знаний вместе с механизмом должны позволять строить модель согласующеюся с реальностью. Модель должна быть точна настолько, насколько точном было чувственное восприятие.

Оставим пункты 4-5. Первыми следует реализовать пункты 1-3, что будет, по крайней мере, базисом.

Всякое знание более ценно тогда когда оно систематизировано. Вообще говоря, любые знания – это прежде всего система. Подобные утверждения должны быть, по хорошему, строго доказаны, однако здесь мы примем их за аксиому. Точнее сформулировать эту аксиому можно следующим образом:

Всякое знание есть прежде всего система, система состоящая из взаимосвязанных элементов. Ситуация когда знаний нет есть по сути дела пустая система – система без элементов. Развитие системы знаний – это развитие системы и составляющих её элементов.

Таким образом, исходя из первого тезиса что знание есть система, можно определить следующие моменты теории.
В самом простом определении система есть совокупность взаимосвязанных элементов. То есть система есть определенное соотнесение элементов системы и взаимоотношение между элементами системы. Чтобы сделать это утверждение более понятным представим элемент как совокупность его взаимоотношений с другими элементами. El = < R { r1(el1, el2, …), r2(ela, elb, …), r3(elz, ely, el4…) } > .

По нескольким соображениям опустим порцию рассуждений о сущности отношений и об определении элемента как такового и перейдем сразу к определениям относящимся непосредственно к теории:

1.Всякая система знаний так или иначе строится на внешних данных или что ранее было названо «чувственным восприятием». Т.е. «чувственное восприятие» является прежде всего основой – субстратом элемента в системе, то есть элемент системы есть прежде всего некоторая внешняя определенность.

2.Точно также каждое взаимоотношение (в дальнейшем просто отношение ) должно иметь свой субстрат, то же чувственное восприятие, будем обозначать его R[P - perception].

3.Система знаний СС должна быть активной системой, или иными словами деятельность СС должна быть представлена. Таким представлением будут операторы, для начала введем три простых оператора:

a.An – оператор анализа (разложения). Оператор применяется к единичному элементу на основе чувственного восприятия P. Результатом применения будет появление новых или модификация существующих элементов. Формально запись будет выглядеть так: An [P] (E1) -> { E11, E12 …}. Неформально оператор анализа есть просто применение некоторого признака (P) к воспринятой внешней определенности и разделение этого элемента на несколько составляющих.
b.Sy – оператор синтеза (генерации). Оператор синтеза есть противоположный оператору анализа. Формально оператор синтеза создает новый элемент или же скажем переопределяет уже существующий элемент из множества выбранных элементов на основе некоторого «чувственного восприятия» или некоторого базисного элемента, которое уже должно быть прямо представлено среди существующих отношений элемента. Неформально оператор синтеза есть генерация новых элементов посредством объединения под определенным признаком. Примером применения оператора синтеза есть сборка компьютерной программы из отдельных библиотек и модулей.

c.In – оператор обобщения или оператор индукции применяется к уже порожденным отношениям. Оператор создает новый оператор заменяя вхождения элементов члены отношения на переменные. Полученный оператор есть также часть элемента. Оператор индукции в отличие от предыдущих двух операторов несколько сложнее. У него нет «внешнего признака применения», но с другой стороны он имеет два других определяющих момента: 1) число переменных будущего оператора и число постоянных элементов или это можно назвать степенью обобщения и 2) это глубина обобщения, об этой характеристики будет сказано далее. Сразу отметим, что оператор применяется только к классу определяющих отношений элемента.

4.Каждый элемент системы как уже было сказано представляет собой совокупность взаимоотношений с другими элементами. Более того, взаимоотношение элемента и системы в целом также представлены как отношение. Данное отношение назовем выделением элемента. По сути дела выделение элемента по некоторому чувственному восприятию из внешнего мира. Этот процесс можно назвать как угодно, здесь важно понять, что качественно элемент появляется в системе только после того как некоторое чувственное восприятие создаст некоторую новую определенность в системе. Чтобы продемонстрировать этот отношение или его также можно назвать способ выделения приведем два простых примера. Пример 1: СС помещенный в закрытое помещение слышит незнакомый звук снаружи, звук повторяется с некоторой периодичностью. Через некоторое время СС сможет «узнавать» звук не в том смысле что он знает что это такое, а просто в том определении, что он УЖЕ его слышал НЕКОТОРОЕ время назад в ЭТОМ помещении. После первого раза звук может быть ассоциирован с различными объектами, однако именно после первого раза этот звук станет элементом системы. Таким образом, этот звук, а именно память о нем и станет тем первичным субстратом отношения элемента и системы. Пример 2: Мимо СС движутся по очереди: один за одним два абсолютно одинаковых предмета – по очереди, сначала один появляется и исчезает, затем другой. У СС есть два варианта: принять что это был один и тот же объект или же принять что это были два одинаковых объекта. Тогда элементами СЗ станут либо два элемента определенные в системе одним и тем же чувственным восприятием, а также связанные между собой отношением анализа основанным на чувственном восприятии «очередности следования», либо один элемент системы связанный с СЗ некоторым чувственным восприятием данного объекта и данный объект будет связан отношением сам с собой, но на сей раз «повторностью появления».

5.Применение какого-либо оператора к элементу(ам) (El) системы вызовет либо появление новых элементов, либо появление нового отношения среди существующих элементов, иными словами данный процесс предусматривает оперирование элементами системы применением базовых операторов или операторов порожденных посредством “оператора индукции”, где элементы становятся членами отношений. Сам же элемент El может быть переопределен либо останется неизменным и станет просто членом ещё одного отношения. Элементы к которым применяются операторы есть операнды применения. Различают «слабое» и «сильное» применение. Различие результатов таких применений смотри в пункте 7.

6.Назовем отношения определяющие или переопределяющие элемент El отношениями «определяющего класса» – отношения определяют элемент, в момент его появления в системе. Отношения же, полученные применением операторов где элемент El становится членом отношения, отнесем к классу продуцированных отношений – элемент продуцирует отношение. Для простоты можно сказать что класс «определяющих отношений» – есть отношения результатом которого будет элемент El. В «продуцирующих отношениях» элемент будет членом отношения. Каким образом появляются те и другие отношения – рассмотрим ниже.

7.Новые элементы или переопределенные существующие элементы получают первичное отношение с системой основанной на том чувственном восприятии, которое было субстратом оператора применения, или на отношении сформированном посредством правил (аксиом) применения операторов. Важно понимать что создание новых или переопределение старых элементов должно иметь четкую (формальную) формулировку. Новые элементы порождаются в следующих случаях:
a.При применение любого продуцированного (индуцированного) оператора.
b.При «сильном» применении оператора An или Sy по «Чувственному Восприятию» к системе.

При «слабом» применение операторов это действие приводит к переопределению элемента. При этом если применяется оператор Sy или An к элементу на базе
иного «чувственного восприятия» и без участия каких-либо иных элементов, то
элемент получит новое переопределение, новое дополнительное определяющее отношение. Если ли же «чувственного восприятия» представлено как соотнесение элементов, то все отношения построенные на базе этого «чувственного восприятия» войдут в число продуцированных отношений. Специально отметим, что продуцированные операторы переопределяют элементы входящий в новый создаваемый элемент, если конечно, таковые существуют. Если – нет, то создается новые элементы с минимально необходимым определением.

8.Также различают сильное и слабое применение операторов. При сильном применении оператора все правила указанные в пункте 7 соблюдаются. Слабое применение операторов позволяет порождать временные элементы, назовем их Λ-элементами (лямбда-элементами), которые являются промежуточным звеном в цепи применения операторов.

9.Таким образом, каждый элемент системы есть тройка:
El = < R[Def]{ Rs, r1, r2, r3…}| R[Prod]{r1, r2, r3…}| Op[In]{o1, o2, …}>, где R[Def] совокупность всех определяющих отношений элемента построенных применением базовых операторов по различным чувственным восприятиям или продуцированных операторов по различным элементам, и первым отношением будет отношение с самой системой (Rs). Вторая компонента R[Prod] – совокупность отношений элемента, где элемент является членом отношения. Третья компонента это операторы порожденные применением оператора индукции к некоторому отношению из класса определяющих отношений.

10.Далее, как уже было сказано, оператор индукции имеет два момента определения: 1) степень обобщения и 2) глубина обобщения.
Степень обобщения может быть полной, частичной с показателем степени и
«нулевой».
Полная степень обобщения это замена всех вхождений членов элементов отношения заменены на переменные;
частичная степень обобщения с показателем – замена лишь некоторых членов на переменную. Часть членов так и останется «константами» - частным вхождением.
«нулевая» степень обобщения – отсутствие всяких переменных.
Если степень обобщения очевидный и понятный момент оператора, то «глубина обобщения» требует пояснения. Каждый элемент может иметь в качестве определяющего – некоторое отношение R, члены этого отношения – элементы {el1, el2, el3…} могут быть заменены на переменные, например el1 – x1, el2 – x2, однако, если они остаются представленными в отношении – el3, то последовательное применение оператора индукции распространится на элемент el3. Где структура элемента останется неизменной, то есть, отношения как определяющие, так и продуцированные останутся какими они были, а элементы члены этих отношений опять-таки могут быть заменены на переменные или оставлены как частное вхождение. Для простоты будем рассматривать операторы с «нулевой» глубиной обобщения. То есть обобщения будут распространятся только на непосредственные элементы.

11.Переменной системы будем называть некоторый абстрактный элемент X, которому могут сопоставляться определенные элементы El, степень абстракции переменной это опять же тема последующего рассмотрения.

12.Следует также отметить наличие особого вида элементов, которые также могут быть и переменными – элементы с пустым субстратом определения, то есть отношение Rs не имеет какого-либо основания – внешней определенности. Нетрудно видеть, что таким элементам будут соответствовать, например, числа. Если подходить к вопросу более строго, то числа также требуют наложения некоторых отношений. Первичным элементом здесь будет скорее – «абстрактное одно». Эти элементы в будущем послужат для построения отношений ещё одного типа.

13.Аксиоматизация Цермело-Френкеля обычно рассматривается с аксиомой выбора. Данная аксиома необходима как элемент выделения элемента из множества, как механизм выделения элемента из множества. Механизмом выделения в данном случае будет оператор сравнения Cm. Оператор применяется к двум элементам, результатом применения будет четвертая компонента элемента: пара производных от отношений – показатель дифференциала отношений и показатель тождественности отношений. В показатель тождественности попадут те элементы которые есть в обоих отношениях, в показатель дифференциала отношений попадут те элементы которые есть в одном отношении и нет в другом. Показатели образующие четвертую компоненту создаются в каждом элементе. Соответственно в дифференциал отношений для одного из сравниваемых элементов попадут те элементы сравниваемых отношений которых нет в отношении данного элемента, но есть в другом элементе. Таким образом, комбинация всех трёх составляющих представит полную картину двух сравниваемых отношений: их совпадение и различие. Показатели отношений есть некоторый базис для последующего отбора так как дает определенные отличия элементов друг от друга. Наиболее адекватным и реалистичным способом будет сравнение элементов не имеющих никаких определяющих отношений или же существует лишь одно определяющее отношение для всех элементов. Такими элементами будут числа или «абстрактное одно» как это было сказано в предыдущем пункте. Иными словами, если некий элемент El1 может быть представлен как некоторое отношение R{a, b, c, c1}, а El2 как отношение R{a, c, c1, d}, то сравнение по этим двум отношениям даст показатель тождественности: RT[a,c,c1] и показатель дифференциала RD[b] в элементе El2. Показатель дифференциала для элемента El1 будет RD[d]. Рекурсивное сравнение элементов определяется – производится для каждого элемента отдельно. Сравнимы могут быть только отношения созданные на основе одного субстрата, то есть на основе одного чувственного восприятия.

14.У каждой теории есть определенная цель, естественно-научная теория описывает какие-либо природные (физические, химические, биологические) процессы. Математические теории дают инструмент. Данная теория описывает систему знания СС и её развитие. Развитие системы знания идет через развитие элементов, иными словами через развитие отношений между элементами. Легко увидеть что такое развитие может продолжаться бесконечно. Однако система знаний любого СС формируется в нечто более менее устойчивое, хоть СЗ и изменяется с течением времени, все равно вся последующая информация будет строиться на основе некоторого скелета. Скелет системы знаний образуют многие элементы, которые находятся в определенном состоянии. Это завершенное (терминальное) состояние элемента – сущность.

15.Создание из элемента сущности осуществляется оператором терминирования T. Сущность это терминальное состояние элемента, далее этот элемент не может быть изменен. Более просто, сущности это некоторая устоявшаяся часть СС - это может представление об объекте, явлении. В процессе терминирования элемента отношения теряют свой субстрат «чувственное восприятие». Сущность полностью абстрактна. Сразу следует заметить, что сущности могут соотноситься с элементом посредством применения операторов, в этом случае сами сущности не изменяются. .

16.Последним оператором будет оператор замены (Rp). Данный оператор позволяет формально заменить одно отношение или группу отношений на другое. Такая замена есть по сути дела выражение тех же знаний, но с точки зрения иных чувственных восприятий.

17.Порядок применения операторов также различен, по сути он определяет число возможных операндов, композитивность операторов и операндов и результат применения. Существует четыре типа применения
a.тривиальное. Оператор применяется к некоторому конечному числу операндов;
b.линейно-бесконечное. Оператор применяется к бесконечному числу операндов;
c.рекурсивное-не замкнутое. Несколько операторов последовательно применяются к набору элементов:
Op0( El1, (Op1(El2, Op2(El3, El4)))...
d.рекурсивное-замкнутое. То же применение, только последний операнд дополнительно соотносится с первым:
Op0( El1, (Op1(El2, Op2(El3, El4) ... OpN(Eln, El1)....))

Здесь необходимо сделать два замечания:
композиционные применение предполагает только конечное чило операндов.
рекурсивное применение может иметь место только при слабом применении операторов, так как в том случае все элементы порожденные на этапе внутренних применений будут являться временными (Λ-элементами)

18.Итого получилось 5 базовых операторов: An, Sy, In, Cp, T, Rp, первичная пустая система и некоторый поток внешней информации. Из всего из этого предстоит построит систему знаний. При этом можно опустить появление некоторых дополнительных элементов.

Простой пример

Термины, определения, понятия.

Описанная выше теория не будет иметь никакого веса, если к ней не приложить пример, пусть даже очень простой, для демонстрации вышесказанного. Итак, для нашего простого примера возьмем пару простых теорем из планиметрии. Сначала выпишем обозначения и определимся с “Чувственным Восприятием”. Затем сформулируем задачи доказательства теорем и выразим их и виде выражений системы. Далее приведем доказательство теорем и в обычном – вербальном виде и затем в в виде выражений теории. Напомню, цель на данный момент состоит в том, что используя методы и аксиоматику теорий, описать систему знаний, а не создать некий “искусственный интеллект” который смог бы доказывать теоремы из геометрии.

Чувственные восприятия:	Элемент восприятия .Обозначение
Плоскость	S, P[s]
Линия	L, P[l]
Точка	Pt, P[pt]
Прямая линия1	Sl P[sl]
Мера угла	Ma, P[ma, N]
Мера расстояния	Md, P[md, N]
Мера площади	Ms, P[ms, N]
Принадлежность точки линии	Ptl, R[ptl]
Точка лежит вне линии	Ptnl, R[ptnl]
Ограниченная часть плоскости	Sp, P[sp]
Часть линии	Lp, P[lp]
Точка лежит между двумя другими точками на линии	R1, P[a](Pt1, Pt2)
Точка лежит между двумя другими линиями на плоскости	R2, P[R1](L1, l2)
ЧВ совпадения	R3
Параллельность прямых	Psl, P[psl]
Общая точка	Cp, P[cp]
Общая линия	Cl, P[cl]

Символ	Назначение
Разделитель имени и формулы элемента	:
Обозначение формулы	<>
Следствие от применения оператора	=>
Основание (ЧВ) применяемого оператора	[]
Члены отношения	{}
Операнды оператора	()
\| Разделитель частей формулы	\|
Слабое применение операторов – построение Λ-элементов, переопределение элементов. Если не укзан данный квалификатор подразумевается сильное применение оператора.	WEAK [( ... )]

Проба пера

2006-08-28T01:01:05Z

Теория сущностей.

Введение 1. Математика.

Всем известно, что математика царица наук, математика инструмент всех точных наук и т.д. Включая те, области где она применима только в виде статистики и теории вероятностей. Математика завоевала такое место в жизни благодаря своей абстрактности. Благодаря этому же математические законы претендуют на всеобщность. Благодаря математике на сегоднешний человечество достигло колосальных результатов в области технической, а потом и технологической. Однако, коль скоро это так, тогда для каждой области жизни, элемента человеческих знаний должна существовать стройная математическая формула/теория, которая давала бы хотя бы приблизительный, но всегда верный ответ на поставленные вопросы, для каждой области человечекой деятельности существовала бы математическая модель, которая бы описывала её и давала бы приблизительные но всё же верные ответы.

К сожалению это не совсем так, даже совсем не так. За примерами далеко ходить не надо. Прогнозы погоды на данный момент не делаются больше чем на неделю, да и те далеко не всегда верны, хотя средства на это дело затрачиваются колосальные. Любые экономические теории как правило базируются на статистике или линейном программировании и поэтому зачастую не способны дать худо-бедно верную модель на более менее перспективный отрезок времени, потому как многие вещи в такую теорию просто не вложишь. Когда-то очень давно занимался изучением формальных логик и формальных граматик. Занятия были увлекательные, но чем больше я продвигался в изучении этих наук и чем больше пытался строить моделей на этой основе, тем виднее бы виден тупик, а все моделирование в конечном итоге сводилось к простому набору «если-то» и к различным видам повторений поиска на какой-то БД. Читал публикации по поводу экспертных систем, сам попытался построить саморазвивающиеюся систему, комбинируя формальную логику и граматику. Однако - не получилось. Сама проирода математики не позволяет строить системы, которые в своем развитии всегда и при все обстоятельствах соответствовали бы жизненным реалиям. Можно сказать, что не хватило ума и упорства, возможно, но никто и не возразит, что «исскуственый интеллект» в сушности оказался мифом, что экспертные системы так и не пережили своего звёздного часа, что все построенные математические модели работают в очень ограниченных рамках: времени, пространства, бюджета. Добилась ли матеметика успеха в каких-либо других областях человеческой деятельности – это вопрос. Добилась – безусловно, но чем глубже мы заглядываем в ту или иную облать, тем больше математические модели становятся в большей степени описательными и в меньшей степени объяснительными. То есть красивой картинки мира не вышло. Всеобщности – нет. Можно сказать что это голословные утверждения. Возможно, но, например, ученые уже много лет пытются построить более менее пригодную теорию описывающую ДНК живых организмов. А воз и ныне там. Все последние открытия в этой области, отнюдь не являются фундаментальными. Пожалуй последним серьезным открытием для человека стало то, что оно не способно понять многие вещи в природе. Вот вроде японцы делают роботов, сложные нейро-системы, нейро-компъютеры, а в результате они так и не приблизили человека к решениям простых, но жизненных вопросов, а что будем делать когда сожжем всю нефть. Есть ли у нас другие запасы энергии? Запасы урана тоже не бесконечны, как бороться с вирусами, как на худой конец предсказвать землетресения и ураганы… Можно сказать, что жить нужно сегодняшним днем, а это все дело будущего, да так, и я больше чем уверен человечество и к этому приспособится, однако… с этого начнется регресс.
Это одна сторона вопроса, которая меня всегда интересовала. Теперь другая – не менее для меня интересная. В начале прошлого века на математическом конгрессе Д. Гильберт сформулировал задачи которые должны быть решены математиками, дабы придать науке стройный вид. Некоторые проблемы до сих пор так и не решены… Тот же Гильберт попытался создать начала математики, но по всей видимости ему этого не удалось. Идем дальше. Возьмите систему аксиом ZFC (Цермело-Френкеля с аксиомой выбора), все что она дает это утверждения сделанные на основе здравого смысла, то есть рассудка не больше и не меньше. Нет там ни четких определений, не какой-либо привязанности к чему-то большему чем полная абстракция. Вообщем это, по сути набор абстракций. И этот набор абстракций называется началом математики.Дальше - больше. Арифметика тоже имеет ограниченное применение. Например, можно посчитать количество предеметов в комнате, однако если вы измерите температуру в комнате а затем откроете окно (пусть это будет зимой), то температура перемешаного воздуха в комнате будет тоже расчитываться по некоторой довольно непростой формуле в зависимости от факторов, причем даже если количество факторов будет также ограниченно, хотя тот же объем воздуха вполне считается простыми арифметическими операциями. Можно сказать не стоит путать математику с физикой. Верно. Но, как бы я не упрощал задачу я никогда не приду к формуле 10 градусов по Цельсию + 10 градусов по Цельсию = 20 градусов по Цельсию. Так как это физика, а не абстрактная математика. Таких моментов можно найти очень много. Впрочем, вряд ли это пробелы. Математика абстрактна и этим всё сказано. По этому математика для жизни - это прокрустово ложе.

Введение 2. Чуственное восприятие.

Всякая наука, имеющая отношение к естествознанию в любом случае начинается с чувственного восприятия и описания окружающего мира. Проще говоря к сбору и анализу фактов, которые открыты чуствам исследователя. Будь-то это наблюдение за химической реакцией или физическим процессом или, пусть даже, наблюдение за поведением животных. Это потом уже появляются термометры, хронометры, весы и микроскопы и т.д. Однако, в любом случае все что субъект, назовем его исследователь, видит, слышит используя только свои чувства или своё чуственное восприятие опосредованное различными приборами и прспособлениями - есть факты окружающего мира вполне поддающиеся описанию, возможно с очень большой точностью и детализацией, а может быть и совсем без первого и второго. Таким образом, можно считать, что обычный субъект вида Homo sapiens способен воспринять и описать некоторую информацию используя свои пять чувств и естественный язык (если конечно он обучен оному). Анализ и интерпретация фактов уже выходит за рамки чувственного восприятия, как и возможные экстраординарные способности субъекта. Описание воспринятой информации на естественном языке во многом зависит от того в каком социуме субъект развивался и живет. Это азбучная истинна, раскрывать её и тратить время нет смысла. Стоит только отметить что сообщество способно понять субъекта если он говорит на одном языке с ним и они имеют общую базовую систему знаний. Из всего вышесказанного следует два простых факта:
- Исследователь (пусть теперь это будет сознательный субъект – СС) используя свои пять чувств, воспринимает и описывает информацию окружающего мира.
- Информация воспринятая СС описывается на основе той системы знаний, которую он строил до сего момента. Описанная таким образом информация становится “знаниями”.

Как уже было описано выше ученые потратили много сил и времени на изучение данного предмета, а именно, как чувственное восприятие окружающего мира сначала носит описательный характер, затем эта инормация фиксируется где-либо, и потом уже постепенно переходит в плоскость познания: анализа собранных фактов и их интерпретация. Где завершается первый этап и когда начинается второй и из чего состоит третий этап - стали вопросами почти философскими. Что вообщем-то и верно. На самом деле без четкого понимания предмета, споры о терминах применяемых к предмету довольно бессмысленны. Наука давно изучила какие сигналы, каким образом и куда попадают в органы чувств человеку, в результате все или почти все завершается нервным окончанием принимающим сигнал и передающем его куда-то туда в «черный ящик» - под черепную коробку. Что там происходит дальше - до сих пор остается загадкой. Нет-нет, врачи уже довольно хорошо изучили физиологию мозга, нейрохирурги умеют его опереровать, ученые давно уже проводят разные экспиременты над ним, строят модели. Более того, в мире в настоящий момент поветрие – создание нейрокомпъютеров, которые козалось бы работают также как мозг, когда же читаешь основные положения по нейросетям – все возвращается на то же место – нейросеть представлена как этакий усовершенствованный набор транзисторов и диодов, иначе говоря как набор элементов «И», «ИЛИ» и «НЕ». Вот ведь разум до чего доходит – «не знаю, не понимаю –изучать не буду, лучше подстриту под мои собственные, скудные познания». Где-то когда-то вычитал высказования русского философа Розанова, он говорил о христианстве: «Видел, слышал – но не понимаю» и далее «Смотрю, но даже не думаю». Порой мне кажется что современная наука остановилась именно на этом этапе. Все на что хватило сил – объясненно, различные модели построенны. Модели просчитаны и заточены под реалии жизни. Технологическая цивилизация построенна. А дальше… Дальше большой перерыв. Ну да ладно, бог с ней – с наукой. Вернемся к чуственному восприятию и остановимся на том, что наше чуственное восприятие дает нам некоторую стартовую точку с которой мы можем начать строить нашу систему знаний. Они – чуственные восприятия, не требуют доказательства или объяснения. Они могут быть взяты за основу так как, реально, у СС нет ничего другого.

Основы.

Итак, мы имеем в качестве начальных данных системы знаний наши чуственные восприятия, и в качестве основы системы знаний способность мыслить (если оная представлена). Читая аксиомы ZFC я всегда приходил к одному и тому же мнению –основанные на рассудочном мышлении они вполне имееют право на существование, так как все они применяемые к жизни дают совершенно определенную картину. Что же давайте и мы представим что-нибудь похожее: всеобший, просто сформулированный закон (законы) на основе, которого можно будет делать дальнейшие построения. Давайте просто попытаемся… Ну а кому не интересно, тот может остановиться на этом абзаце и закончить чтение.
Наша же попытка сведется к простым предположениям:

1. Нам нужен простой механизм, который позволит нам адекватно представить систему знаний СС.

2. Чуственное восприятие (ЧВ) будет привноить внешние исходные данные в нашу систему знания.

3. Внешне определенные данные (ВОД) станут неотемлемой частью системы знаний, Эти данные будут с одной стороны интерпретацией внешнего мира в систему знаний и с другой стророны «опытом» СС, на основе которого он (СС) сможет достраивать свою систему знаний.

4. Система знаний должна быть активной – это не набор некоторых данных, это нечто, что способно развиваться.

5. Система знаний вместе с механизмом должны позволять строить модель согласующеюся с реальностью. Модель должна быть точна настолько, насколько точном было чуственное восприятие.

Оставим пункты 4-5. Первым следует реализовать пункты 1-3, что будет, по крайней мере, базисом.

Всякое знание более ценно тогда когда оно систематизировано. Вообще говоря, любые знания – это прежде всего система. Подобные утверждения должны быть, по хорошему, строго доказаны, одноко здесь мы примем их за аксиому. Точнее сформулировать эту аксиому можно следующим образом:

Всякое знание есть прежде всего система, система состоящая из взаимосвязанных элементов. Ситуация когда знаний нет есть по сути дела пустая система – система без элементов. Развитие системы знаний – это развитие системы и состовляющих её элементов.

Таким образом, исходя из первого тезиса что знание есть система, можно определить следующие моменты теории.
В самом простом определении система есть совокупность взаимосвязанных элементов. То есть система есть определенное соотнесение элементов системы и взаимоотношение между элементами системы. Чтобы сделать это утверждение более понятным представим элемент как сосвокупность его взаимоотношений с другими элементами. El = < R { r1(el1, el2, …), r2(ela, elb, …), r3(elz, ely, el4…) } > .

По нескольким соображениям опустим порцию рассуждений о сущности отношений и об определении элемента как такового и перейдем сразу к опеределениям относящимся непосредственно к теории:

1. Всякая система знаний так или иначе строится на внешних данных или что ранее было названо «чуственным восприятием». Т.е. «чувственное восприятие (SP – sensitive perception)» является прежде всего основой – субстратом элемента в системе, то есть елемент системы есть прежде всего некоторая внешняя определенность.

2. Точно также каждое взаимоотношение (в дальнейшем просто отношение ) должно иметь свой субстрат, то же чувственное восприятие, будем обозначать его r[P].

3. Система знаний СС болжно быть активной системой, или иными словами деятельность СС должна быть представлена. Таким представлением будут операторы, для начала введем три простых оператора:

a. An – оператор анализа (разложения). Опертор применяется к единичному элементу на основе чувтсвенного восприятия P. Результатом применения будет появление новых или модификация существующих элементов. Формально запись будет выглядеть так:
An [P] (E1) -> { E11, E12 …}. Неформально опрератор анализа есть просто применение некоторого признака (P) к воспринятой внешней определенности и разделение этого элемента на несколько состовляющих. Например, любой предмет можно разделить на состовлящие его части, или некоторое явление может иметь несколько проявлений. Вся эта информация полученная посредством данного оператора есть часть элемента, так как именно посредством разложения элемента она была пострена. Новые или уже существующие элементы при этом становятся связанными отношением R[P]. Таким образом описание элемента El всегда будет включать те отношения и их члены, которые были полученны применением оператора An.
b. Sy – оператор синтеза (генерации). Оператор синтеза есть противополжный оператору анализа. Формально оператор синтеза создает новый элемент или же скажем воссоздает уже существующий элемент из множества выбранных элементов на основе некоторого «чувственного восприятия», которое уже должно быть прямо представленно среди существующих отношений элемента. Соотнесение двух элементов системы есть по сути дела применение данного оператора к обеим элементам системы по определенному признаку P. Если этот признак, этот субстрат отсутствует, то элементы считаются не соотносимыми, до тех пор пока данное отношение не появится в определении обеих элементов. Неформально оператор синтеза есть генерация новых элементов посредством объединения под определенным признаком. Примером применения оператора синтеза есть сборка компьютерной программы из отдельных библиотек и модулей.
c. In – оператор обобщения или оператор индукции применяется к уже порожденным отношениям. Оператор создает новый оператор заменяя вхождения элементов члены отношения на переменные. Полученный оператор есть также часть элемента. Оператор индукции в отличие от предыдущих двух операторов несколько сложнее. У него нет «внешнего признака применения», но с другой стороны он имеет два других определяющих момента: 1) число переменных будущего оператора и число постоянных элементов или это можно назвать степенью обобщения и 2) это глубина обобщения, об этой характеристики будет сказано далее. Сразу отметим, что оператор применяется только к классу определяющих отношений элемента.

4. Каждый элемент системы как уже было сказано представляет собой совокупность взимоотношений с другими элементами. Более того, взаимоотношение элемента и системы в целом также представлены как отношение. Данное отношение назовем выделением элемента. По сути дела выделение элемента по некоторому чуственному восприятию из внешнего мира. Этот процесс можно назвать как угодно, здесь важно понять, что качественно элемент появляется в системе только после того как некоторое чуственное восприятие создаст некоторую новую определенность в системе. Чтобы продемострировать этот отношение или его также можно назвать способ выделения приведем два простых примера. Пример 1: СС помещенный в закрытое помещение слышит незнакомый звук снаружи, звук повторяется с некорой периодичностью. Через некоторое время СС сможет «узнавать» звук не в том смысле что он знает что это такое, а просто в том определении, что он УЖЕ его слышал НЕКОТОРОЕ время назад в ЭТОМ помещении. После первого раза звук может быть ассоциирован с различными объектами, однако именно после первого раза этот зыук станет элементом системы. Таким образом, этот звук, а именно память о нем и станет тем первичным субстратом отношения элемента и системы. Пример 2: Мимо СС движутся по очереди: один за одним два абсолютно одинаковых предмета – по очереди, сначала один появляется и исчезает, затем другой. У СС есть два варианта: принять что это был один и тот же объект или же принять что это били два одинаковых объекта. Тогда элементами СЗ станут либо два элемента определенные в системе одним и тем же чуственным восприятием, а также связанные между собой отношением анализа основанным на чувственном восприятии «очередности следования», либо один элемент системы связанный с СЗ некоторым чуственным восприятитием данного объекта и данный объект будет связан отношением сам с сабой, но на сей раз «повторностью появления».

5. Применение какого-либо оператора к элементу (El) системы вызовет либо появление новых элементов либо появление нового отношения среди существующих элементов, либо комбинации предыдущих вариантов, иными словами данный процесс предусматривает оперирование элементами системы применением базовых операторов или операторов порожденных посредством “оператора индукции”, где элементы становятся членами отношений. Сам же элемент El может быть переопределен либо останется неизменным и станет просто членом ещё одного отношения.

6. Назовем отношения определяющие или переопределяющие элемент El отношениями «определяющего класса» – отношения определяют элемент. Отношения же, полученные применением операторов где элемент El становится членом отношения, отнесем к классу продуцированных отношений – элемент продуцирует отношение. Для простоты можно сказать что класс «определяющих отношений» – есть отношения результатом которого будет элемент El. В «продуцирующих отношениях» элемент будет членом отношения.

7. Новые элементы или переопределенные существующие отношения получают первичное (для переопределенных элементов это уже не будет первичным) отношение с системой основанной на том чувственном восприятии, которое было субстратом оператора применения (или порождения), так как все возможные порожденные операторы так или иначе будут строится на основе базовых, то в конечном итоге применение любого порожденного оператора можно будет свести к последовательности применения базовых операторов, что в конечном итоге даст то или иное чувственное восприятие как основу связи элемента и системы.

Таким образом, каждый элемент системы есть тройка:
El = < R[Def]{ Rs, r1, r2, r3…}, R[Prod]{r1, r2, r3…}, Op[In]{o1, o2, …}>, где R[Def] совокупность всех определяющих отношений элемента построенных применением базовых или порожденных операторов других элементов по различным чувственным восприятиям, и первым отношением будет отношение с самой системой (Rs). Вторая компонента R[Prod] – совокупность отношений элемента, где элемент является членом отношения. Третья компонента это операторы порожденные применением оператора индукции к некоторому отношению из класса определяющих отношений.

8. Далее, как уже было сказано, оператор индукции имеет два момента определения: 1) степень обобщения и 2) глубина обобщения.
Степень обобщения может быть полной, частичной с показателем степени и «нулевой».
• Полная степень обобщения это замена всех вхождений членов элементов отношения заменены на переменные;
• частичная степень обобщения с показателем – замена лишь некоторых членов на переменную. Часть членов так и останется «константами» - частным вхождением.
• «нулевая» степень обобщения – отсутствие всяких переменных.
Если степень обобщения очевидный и понятный момент оперетора, то «глубина обощения» требует пояснения. Каждый элемент может иметь в качестве определяющего – некоторое отношение R, члены этого отношения – элементы {el1, el2, el3…} могут быть заменены на переменные, например el1 – x1, el2 – x2, однако, если они остаются представленными в отношении – el3, то последовательное применение оператора индукции распространится на элемент el3. Где структура элемента останется неизменной, то есть, отношения как определяющие, так и продукционные останутся какими они были, а элементы члены этих отношений опять-таки могут быть заменены на переменные или оставлены как частное вхождение. Для простоты будем рассматривать операторы с «нулевой» глубиной обобщения. То есть обощения будут распространятся только на непосредственные элементы.

9. Переменной системы будем называть некоторый абстрактный элемент X, которому могут сопостовлятся определенные элементы El, степень абстракции переменной это опять же тема последующего рассмотрения.

10. Следует также отметить наличие особого вида элементов, который также могут быть и переменными – элементы с пустым субстратом определения, то есть отношение Rs не имеет какого-либо основания – внешней определенности. Нетрудно видеть, что таким элементам будут соответствовать, например, числа. Если подходить к вопросу более строго, то числа также требуют наложения некоторых отношений. Стартовым элементом здесь будет скорее – «абстрактное одно». Эти элементы в будущем послужат для построения отношений ещё одного типа.

11. Аксиоматизация Цермело-Френкеля обычно рассматривается с аксиомой выбора. Данная аксиома небходима как элемент выделения элемента из множества, как механизм выделения элемента из множества. Механизмом выделения в данном случае будет оператор сравнения Cm. Оператор применяется к двум элементам, результатом применения будет четвертая компонента элемента: унифицированные отношения, это отношения порождения на основе сопостовления всех определяющих отношений элемента El1 с определяющими отношениями другого элемента El2. Сравниваться могут только отношения созданные на основе одного субстрата, то есть на основе одного «чувственного восприятия». Первоначально отношения будут сравнены по мощности, то есть по количеству элементов их составляющих, таким образом отношение с бОльшим количеством элементов будет «сильнее» чем то же отношение в другом элементе. Очевидно, что такой способ сравнения не дает реального представления о сравниваемых отношениях, а значит и о сравниваемых элементах. Подобное поверхностное сравнение назовем сравнением нулевой степени. Если же будут сравниваться элементы входящие в отношения то каждый уровень. Где каждый входящий элемент будет сравнен с другим таким же элементом. Степень сравнения будет зависеть от глубины рекурсии. Наиболее адекватным и реалистичным способом будет сравнение на нулевом, первом уровне рекурсии когда сравниваемые элементы не имеют никаких определяющих отношений или же существует лишь одно определяющее отношение для всех элементов. Такими элементами будут числа или «абстрактное одно» как это было сказано в предыдущем пункте. Иными словами, если некий элемент El1 может быть представлен как некоторое отошение R{a, b}, а El2 как отношение R{a, c}, то сравнение на нулевом уровне не даст различие между двумя элементами: отношения равномощны, однако сравнение на следующем уровне даст различие в элементах b и c, если представить что элемент «a» есть некоторая характеристика элементов El1, El2, то b и c будучи представленными этими самыми числами – дадут реальное различее элементов. То есть если отношение R есть представление протяженности различных элементов, например, если a – «есть расстояние между двумя крайними точками визуального представления элементов» El1 и El2, а b и с есть выражение растояния в цифрах (для простоты третий элемент – единицы измерения - опущен), тогда реальная разница возникнет из сравнения b и с. И опять же b и c сравнимы будут по некоторому отношению, в итоге придем к тому что b и c есть будут сравнимы по отношению R1 – совокупность единиц – абстрактных «одно». У кого будет больше этих «абстрактных одно» тот элемент и мощнее, что в конце концов и даст результат сравнения, по крайней мере по одному отношению. Если к некоторым элементам El1 и El2 применить этот оператор и далее к одному из элементу применить оператор индукции, то в результате абстрагирования появится производный оператор от унифицированных отношений первого элемента где унифицированные отношения произведенные при сравнении со вторым элементам будет своего рода образцом для сравнения. Эти отношения которые и будут играть роль механизма выбора/отбора. Одним из проявлений «образца для сравнения» является такое понятие как «единица измерения». Применение производного оператора к группе элементов: произведет такие же унифицированые отношения в каждом эелементе группы как и для первого элемента, таким образом, каждый элемент из этой группы будет сравнен с эталоном, и по результатам сранения может быть отбран по унифицированным отношениям (отношению) в какую-либо другую группу.

12. У каждой теории есть определенная цель, естественно-научная теория описывает какие-либо природные (физические, химические, биологичекие) процессы. Математические теории дают инструмент. Данная теория описывает систему знания СС и её развитие. Развитие системы знания идет через развитие элементов, иными словами через развитие отношений между элементами. Легко увитеть что такое развитие может продолжаться бесконечно. Однако система знаний любого СС формируется в нечто более менее устойчивое, хоть СЗ и изменяется с течением времени, все равно вся последующая информация будет строиться на основе некоторого скелета. Скелет системы знаний образуют многие элементы, которые находятся в определенном состоянии. Это завершенное (терминальное) сосотояние элемента – сущность.

13. Создание из элемента сущности осуществляется оператором терминирования T. Сущность это терминальное состояние элемента, далее этот элемент не может быть изменнен. Более просто, сущности это некотороя устоявшеяся часть СС - это может представление об объекте, явлении. В процессе терминирования элемента отношения теряют свой субстрат «чуственное восприятие». Сущность полностью абстрактна. Сразу следует заметить, что сущности могут соотноситься с элементом посредством применения операторов, в этом случае сами сущности неизменяются.

История жизни.

2005-12-22T15:10:12Z

Говорить и писать нужно когда есть что сказать. Когда язык чешется, а писать в ЖЖ нужно когда при всем при этом никто слушать не будет - так кому-нибудь на утеху. Да и то ладно. Иногда язык-пальцы чешутся так клавиатуры нет. Иногда времени. Сегодня какой-то особенный день.

Как только попал ЖЖ, началось "мурзилка Галковского - записей нет". А чем писать-то? О своём собственном убожестве, так гордится здесь нечем. Вчера вот посмотрел очередной раз фильм "Ирония судьбы..." Так ведь полегчало. Пусть там герои слегка рафинированные, пусть ситуация надуманная - но ведь живые души, а как получилось - в течение фильма один-два штришка и никакой пошлости и достаточно человеку светлой радости на ближайшую неделю.
К чему это я - буду писать в ЖЖ свою историю жизни. Маленьками черточками, штришками... Потом почитаю свом детям и внукам - глядишь польза будет. Ну а на нет и суда нет.

Hvatit pryatatsy....

2005-11-11T14:26:42Z

Izmenil info o sebe.